Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|（m＞0）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥8恒成立；
（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥8恒成立．
（Ⅱ）當(dāng)m＞$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式即 $\frac{8}{m}$+2m＞10，即m²-5m+4＞0，求得m的范圍．當(dāng)0＜m≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（1）=1+$\frac{8}{m}$+（1-2m）=2+$\frac{8}{m}$-2m關(guān)于變量m單調(diào)遞減，求得f（1）的最小值為17，可得不等式f（1）＞10恒成立．綜合可得m的范圍．

解答 （Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|（m＞0），
∴f（x）=|x+$\frac{8}{m}$|+|x-2m|≥|x+$\frac{8}{m}$-（x-2m）|=|$\frac{8}{m}$+2m|=$\frac{8}{m}$+2m≥2$\sqrt{\frac{8}{m}•2m}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，取等號(hào)，故f（x）≥8恒成立．
（Ⅱ）f（1）=|1+$\frac{8}{m}$|+|1-2m|，當(dāng)m＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（1）=1+$\frac{8}{m}$-（1-2m），不等式即 $\frac{8}{m}$+2m＞10，
化簡(jiǎn)為m²-5m+4＞0，求得m＜1，或m＞4，故此時(shí)m的范圍為（$\frac{1}{2}$，1）∪（4，+∞）．
當(dāng)0＜m≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（1）=1+$\frac{8}{m}$+（1-2m）=2+$\frac{8}{m}$-2m關(guān)于變量m單調(diào)遞減，
故當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（1）取得最小值為17，
故不等式f（1）＞10恒成立．
綜上可得，m的范圍為（0，1）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式、基本不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，注意分類討論，屬于中檔題．