Question

9．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性（不用證明）；
（3）當(dāng)t∈R時(shí)，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)性質(zhì)得：f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求出a，b值，
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，即可作出判斷；
（3）由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，變?yōu)榫唧w不等式恒成立，從而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．

解答 解：（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=$\frac{1+b}{1+a}$=0，∴b=-1．
又f（-1）=-f（1），得$\frac{\frac{1}{2}+b}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{2+b}{2+a}$，∴a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)a=1，b=-1符合題意．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）因?yàn)椴坏仁絝（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，
所以f（t²-2t）＞-f（2t²-k），
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（t²-2t）＞f（k-2t²），
又f（x）為增函數(shù)，所以t²-2t＞k-2t²，即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3$（t-\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}≥-\frac{1}{3}$，
所以k＜-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，關(guān)于函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性常利用定義解決，而恒成立問題則轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．