Question

18．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，g（x）=1-x+$\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-…-\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，F(xiàn)（x）=f（x+1）•g（x-2）且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a∈Z，b∈Z）內，圓x²+y²=（a-b）²的面積的最小值是（　�。�

• A． 36π
• B． 25π
• C． 16π
• D． 9π

Answer 1

分析 求導數(shù)，確定f（x）是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點，同理可得函數(shù)g（x）在[1，2]上有一個零點；即可得出結論．

解答 解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴；
x＞-1時，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1時，f′（x）＞0，
因此f（x）是R上的增函數(shù)，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＜0
∴函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點；
∴函數(shù)f（x+1）在[-2，-1]上有一個零點，
同理，g′（x）=-1+x-x²+…-x²⁰¹⁴；
x＞-1時，g′（x）＜0，g′（-1）=-2015＜0，x＜-1時，g′（x）＜0，
因此g（x）是R上的減函數(shù)，
∵g（2）＜0，g（1）=（1-1）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＞0
∴函數(shù)g（x）在[1，2]上有一個零點；
∴函數(shù)g（x-2）在[3，4]上有一個零點，
∵函數(shù)函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a∈Z，b∈Z）內，
∴a_max=-2，b_min=4，
∴（b-a）_min=4-（-2）=6，
∴圓x²+y²=（a-b）²的面積的最小值是36π，
故選：A．

點評 此題是難題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，學生靈活應用知識分析解決問題的能力．