Question

已知函數(shù)f（x）=

2

cos（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（α）=

2 5

5

，f（β）=

6

5

，-

π

2

＜α＜0＜β＜

π

2

，求f（2α+β）．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),任意角的概念

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=2cosx，即可求f（0）的值；
（2）由已知可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式先求sinα，sinβ的值，由兩角和與差的余弦函數(shù)公式展開(kāi)f（2α+β）代入即可求值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

cos（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

）=2cos（

π

4

+x-

π

4

）=2cosx，
∴f（0）=2cos0=2．
（2）∵f（α）=2cosα=

2 5

5

，f（β）=2cosβ=

6

5

，
∴cosα=

5

5

，cosβ=

3

5

，
∵-

π

2

＜α＜0＜β＜

π

2

，
∴sinα=-

1-cos2α

=-

2 5

5

，sinβ=

1-cos2β

=

4

5

，
∴f（2α+β）=2cos（2α+β）=2[（2cos²α-1）cosβ-2sinαcosαsinβ]=2×[-

15

25

×

3

5

+2×

2 5

5

×

5

5

×

4

5

]=

14

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的余弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．