Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n•a_n+1=3×2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n•a_n+1=3×2ⁿ，n=1時，2a₂=6，解得a₂，n≥2時，a_n-1•a_n=3×2^n-1，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比都為2．即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n•a_n+1=3×2ⁿ，
∴n=1時，2a₂=6，解得a₂=3，
n≥2時，a_n-1•a_n=3×2^n-1，
可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比都為2．
∴a_2k=3×2^k-1，k∈N^*．
a_2k-1=2×2^k-1=2^k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n+1}{2}}，n=2k-1}\\{3×{2}^{\frac{n-2}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．