Question

1．函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{2}{x}$+x-1．
 （1）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
 （2）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．
 （3）在區(qū)間（0，1）上，不等式m-f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）由x＜0，-x＞0，運(yùn)用已知解析式，結(jié)合偶函數(shù)，即可得到所求解析式；
（3）由參數(shù)分離和（1）的結(jié)論，求出g（x）的范圍，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）證明：設(shè)0＜m＜n＜1，f（m）-f（n）=$\frac{2}{m}$+m-1-（$\frac{2}{n}$+n-1）
=（m-n）（1-$\frac{2}{mn}$），
由0＜m＜n＜1，可得m-n＜0，0＜mn＜1，1-$\frac{2}{mn}$＜0．
則f（m）-f（n）＞0，即有f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，即有-x＞0時(shí)，f（-x）=-$\frac{2}{x}$-x-1，
由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
即有f（x）=-$\frac{2}{x}$-x-1，（x＜0）；
（3）在區(qū)間（0，1）上，不等式m-f（x）＜0恒成立，
即為m+1＜x+$\frac{2}{x}$，
由g（x）=x+$\frac{2}{x}$在（0，1）遞減，則g（x）＞3，
即有m+1≤3，
解得m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．