Question

設(shè)函數(shù)f(x)=1-2sin2x-cos(2x+

π

3

)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）△ABC的三邊a，b，c所對的內(nèi)角分別為A，B，C，若b=5，且f(

B

2

)=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角公式、兩角和與差的正余弦公式進(jìn)行化簡，可得f（x）=sin(2x+

π

6

)，再利用三角函數(shù)的周期公式加以計算，可得f（x）的最小正周期；
（2）由f(

B

2

)=1得sin(B+

π

6

)=1，結(jié)合B為三角形的內(nèi)角算出B=

π

3

．然后根據(jù)余弦定理與基本不等式，推出當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，ac有最大值為25．由此利用三角形的面積公式，即可算出△ABC面積的最大值．

解答：解：（1）∵cos2x=1-2sin²x，cos（2x-

π

3

）=cos

π

3

cos2x-sin

π

3

sin2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x，
∴f(x)=cos2x-(

1

2

cos2x-

3

2

sin2x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)，
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=sin(2x+

π

6

)，∴f(

B

2

)=sin(B+

π

6

)=1，
又∵B∈（0，π），可得B+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴B+

π

6

=

π

2

，可得B=

π

3

．
因此，根據(jù)余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
整理得：a²+c²-ac=b²=25．
又∵根據(jù)基本不等式，得a²+c²≥2ac，
∴ac≤a²+c²-ac=25，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立．
由此可得：S△ABC=

1

2

ac•sinB≤

25

2

•

3

2

=

25 3

4

，
當(dāng)a=c=5時，△ABC面積的最大值為

25 3

4

．

點評：本題將一個三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，求函數(shù)的最小正周期并依此求三角形面積的最大值．著重考查了三角恒等變換公式、基本不等式、余弦定理與三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．