如圖，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，|AB|=5，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，且|AM|=2，點(diǎn)M隨線段AB的運(yùn)動(dòng)而變化．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)F1為點(diǎn)M的軌跡的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交M的軌跡于P，Q兩點(diǎn)，求S△PQF2的最大值，并求此時(shí)直線PQ的方程．
（1）由題可知AM=
2
5
AB，且可設(shè)A（x0，0），M（x，y），B（0，y0），
則可得x0=
5
3
x，y0=
5
2
y，
又|AB|=5，即x02+y02=25，∴
x2
9
+
y2
4
=1，這就是點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由（1）知F1為（-
5
，0），F(xiàn)2為（
5
，0），
由題設(shè)PQ為x=my-
5
，
直線方程代入橢圓方程，可得（4m2+9）y2-8
5
my-16=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則△＞0恒成立，y1+y2=
8
5
m
4m2+9
且y1y2=
-16
4m2+9
，
∴S△PQF2=
1
2
|F1F2|(|y1|+|y2|)=
5
|y1-y2|=24
5
•
m2+1
4m2+9

令t=
m2+1
（t≥1），則S△PQF1=24
5
•
1
4t+
5
t
≤6，
當(dāng)且僅當(dāng)t=
5
2
，即m=±
1
2
時(shí)取“=”
∴S△PQF2的最大值為6，
此時(shí)PQ的方程為2x+y-2
5
=0或2x-y-2
5
=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）2+y2=1的點(diǎn)的最小距離．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)F的直線與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|=8，求|BF|的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)H（x0，y0）作兩條直線與⊙M相切于A、B兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為
17
4
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，求直線EF的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為
2
2
，直線?與橢圓C相切于M點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，且|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線m過(guò)F1點(diǎn)，且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，|AF2|+|BF2|=
8
2
3
，求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過(guò)點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
（�。┣笞C：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線L的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，則p的值為（　　）
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖，已知點(diǎn)P（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2）均在拋物線y2=2px（p＞0）上，PA，PB與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)，且PC=PD，則y1+y2的值為…（　�。�
A．-2aB．2bC．2pD．-2b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（理科）一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動(dòng)點(diǎn)記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過(guò)一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；
②求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范圍．

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