(理科)一動(dòng)圓過定點(diǎn)P(0,1),且與定直線l:y=-1相切.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;
(2)若(1)中的軌跡上兩動(dòng)點(diǎn)記為A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求證:直線AB過一定點(diǎn),并求該定點(diǎn)坐標(biāo);
②求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范圍.
(1)由已知可得:點(diǎn)C到P的距離與到定直線l的距離相等.
所以圓心C的軌跡是以p為焦點(diǎn),定直線l為準(zhǔn)線的拋物線,
∴所求拋物線的方程為:x2=4y.
(2)①設(shè)AB:y=kx+b,由
y=kx+b
x2=4y
,消去y得:x2-4kx-4b=0.
∴x1+x2=4k.x1x2=-4b,∵x1x2=-16,
∴b=4,∴直線AB過定點(diǎn)(0,4).
②由拋物線的定義可知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1,
1
|PA|
+
1
|PB|
=
1
y1+1
+
1
y2+1
=
y1+y2+2
y1y2+y1+y2+1

y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k.x1x2=-16,
1
|PA|
+
1
|PB|
=
k(x1+x2)+10
k2x1x2+5k(x1+x2)+25
=
4k2+10
4k2+25
=1-
15
4k2+25
∈[
2
5
,1)
,
∴所求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范圍是[
2
5
,1)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別分別在x軸、y軸上滑動(dòng),|AB|=5,點(diǎn)M是AB上一點(diǎn),且|AM|=2,點(diǎn)M隨線段AB的運(yùn)動(dòng)而變化.
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)F1為點(diǎn)M的軌跡的左焦點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),過F1的直線交M的軌跡于P,Q兩點(diǎn),求S△PQF2的最大值,并求此時(shí)直線PQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-a,b).
(1)若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b),B(a,0)滿足
PM
=
1
2
PA
+
PB
),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1•k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q(acosθ,bsinθ)(0<θ<π),如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
,寫出求作點(diǎn)P1、P2的步驟,并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),圓x2+y2=4x的圓心是拋物線的焦點(diǎn),直線l過拋物線的焦點(diǎn),且斜率為2,直線l交拋物線與圓依次為A、B、C、D四點(diǎn).

(1)求拋物線的方程.
(2)求|AB|+|CD|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),拋物線準(zhǔn)線與x軸交于C點(diǎn),若∠CBF=90°,則|AF|-|BF|的值為(  )
A.
p
2
B.pC.
3p
2
D.2p

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

橢圓
x2
2
+
y2
=1
上的點(diǎn)到直線2x-y=7距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(  )
A.(-
4
3
,
1
3
B.(
4
3
,-
1
3
C.(-
4
3
,
17
3
D.(
4
3
,-
17
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若直線y=kx+1與曲線x=
1-4y2
有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

雙曲線E的漸近線方程為y=±
4
3
x
,且經(jīng)過點(diǎn)(2
3
,
4
3
3
)

(1)求雙曲線E的方程;
(2)F1,F(xiàn)2為雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn),若|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)D(0,4)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)E,F(xiàn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OE⊥OF,求直線l的斜率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案