Question

（理科）一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標；
②求

1

|PA|

+

1

|PB|

的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知可得：點C到P的距離與到定直線l的距離相等．
所以圓心C的軌跡是以p為焦點，定直線l為準線的拋物線，
∴所求拋物線的方程為：x²=4y．
（2）①設(shè)AB：y=kx+b，由

y=kx+b x2=4y

，消去y得：x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k．x₁x₂=-4b，∵x₁x₂=-16，
∴b=4，∴直線AB過定點（0，4）．
②由拋物線的定義可知：|PA|=y₁+1，|PB|=y₂+1，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

y1+1

+

1

y2+1

=

y1+y2+2

y1y2+y1+y2+1

y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，x₁+x₂=4k．x₁x₂=-16，

1

|PA|

+

1

|PB|

=

k(x1+x2)+10

k2x1x2+5k(x1+x2)+25

=

4k2+10

4k2+25

=1-

15

4k2+25

∈[

2

5

，1)，
∴所求

1

|PA|

+

1

|PB|

的取值范圍是[

2

5

，1)．