Question

設(shè)f（x）=sin²x-2acosx+1，最大值記為g（a），求g（a）的表達(dá)式及值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：f（x）=sin²x-2acosx+1=-（cosx+a）²+a²+2，當(dāng)a＞1時，cosx=-1，函數(shù)f（x）取得最大值2a+1．當(dāng)a＜-1時，cosx=1，函數(shù)f（x）取得最大值-2a+1．
當(dāng)-1≤a≤1時，cosx=-a，函數(shù)f（x）取得最大值a²+2．即可得出g（a）=

2a+1，a＞1 a2+2，-1≤a≤1 -2a+1，a＜-1

，再利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出值域．

解答： 解：f（x）=sin²x-2acosx+1
=-cos²x-2acosx+2
=-（cosx+a）²+a²+2，
當(dāng)a＞1時，cosx=-1，函數(shù)f（x）取得最大值2a+1．
當(dāng)a＜-1時，cosx=1，函數(shù)f（x）取得最大值-2a+1．
當(dāng)-1≤a≤1時，cosx=-a，函數(shù)f（x）取得最大值a²+2．
∴g（a）=

2a+1，a＞1 a2+2，-1≤a≤1 -2a+1，a＜-1

，
當(dāng)a＞1時，g（a）＞3；
當(dāng)-1≤a≤1時，2≤g（a）≤3；
當(dāng)a＜-1時，g（a）＞3．
綜上可得：g（a）的值域?yàn)閇2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．