Question

已知函數(shù)f（x）=e^x的圖象與g（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（1）若直線(xiàn)y=kx+1與g（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）判斷曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)y=

1

2

x²+ax+1（a∈R）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）設(shè)a＜b，比較f（

a+b

2

）與

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線(xiàn)與圓

分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)，求出lnx的導(dǎo)數(shù)，求出切線(xiàn)的斜率，列出方程組，求出x₀，k；
（2）令h（x）=f（x）-（

1

2

x²+ax+1）=e^x-

1

2

x²-ax-1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出；
（3）設(shè)b-a=t＞0，通過(guò)作差

f(b)-f(a)

b-a

-f（

a+b

2

），構(gòu)造函數(shù)g（t）=e^t-1-t•e

t

2

（t＞0），求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=e^x-x-1（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=e^x的圖象與g（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
則有g(shù)（x）=lnx，g′（x）=

1

x

，
設(shè)直線(xiàn)y=kx+1與函數(shù)y=g（x）=lnx的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
則kx₀+1=lnx₀．且k=g′（x₀）=

1

x0

，
即有l(wèi)nx₀=2，x₀=e²，k=e-2；
（2）令h（x）=f（x）-（

1

2

x²+ax+1）=e^x-

1

2

x²-ax-1，
則h′（x）=e^x-x-a，h^′′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，h^′′（x）＞0，h′（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，h^′′（x）＜0，h′（x）單調(diào)遞減，
故h′（x）在x=0處取得極小值，即最小值，
∴h′（x）≥h′（0）=1-a，
若a=1，則函數(shù)y=h（x）在R上單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)，
而x=0時(shí)，滿(mǎn)足h（0）=0，是h（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
所以曲線(xiàn)y=f（x） 與曲線(xiàn)y=

1

2

x²+ax+1有唯一公共點(diǎn)（0，1）；
若a＜1，則1-a＞0，函數(shù)y=h（x）在R上單調(diào)遞增，有一個(gè)零點(diǎn)，
即有曲線(xiàn)y=f（x） 與曲線(xiàn)y=

1

2

x²+ax+1有唯一公共點(diǎn)；
若a＞1，1-a＜0，由e^x=x+a，可得，有兩個(gè)極值點(diǎn)且異號(hào)，
求得極小值和極大值也異號(hào)，且h（x）恒過(guò)原點(diǎn)，則有三個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)公共點(diǎn)；
綜上可得，a≤1，有1個(gè)公共點(diǎn)；a＞1有3個(gè)公共點(diǎn)．
（3）設(shè)b-a=t＞0，則

f(b)-f(a)

b-a

-f（

a+b

2

）=

eb-ea

b-a

-e

a+b

2

=

ea(eb-a-1)

b-a

-ea+

t

2

=e^a（

et-1

t

-e

t

2

）=

ea

t

（e^t-1-te

t

2

），
令g（t）=e^t-1-t•e

t

2

（t＞0），
則g′（t）=e^t-e

t

2

-

t

2

•e

t

2

=e

t

2

（e

t

2

-1-

t

2

）（t＞0）．
令h（x）=e^x-x-1（x＞0），
則h′（x）=e^x-1＞0，∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（0）=0，
因此g′（t）＞0，∴函數(shù)g（t）在t＞0時(shí)單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（0）=0．
∴

f(b)-f(a)

b-a

＞f（

a+b

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線(xiàn)、單調(diào)性、方程的根的個(gè)數(shù)、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．