Question

（本小題滿分13分）
已知數(shù)列｛｝中，對一切，點(diǎn)在直線y=x上，
(Ⅰ)令，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)（4分）；
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式（4分）；
(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在常數(shù)，使得數(shù)列 為等差數(shù)列？若存在，試求出 若不存在,則說明理由（5分）.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列  .

(I)利用等比數(shù)列的定義,
從而證明是等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為.
(II)在（I）的基礎(chǔ)上可求出然后再采用疊加求通項(xiàng)的方法求a_n.
(III)可以先利用成等差數(shù)列求出=2，然后再利用等差數(shù)列的定義證明當(dāng)=2時(shí)，為等差數(shù)列即可.
（Ⅰ）由已知得       
又    

是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
       
    

將以上各式相加得：


（Ⅲ）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 




數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列 
解法二： 存在，使數(shù)列是等差數(shù)列 
由（I）、（II）知，

    
又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列  .