Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（3，$\sqrt{5}$），直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，它的直角坐標(biāo)方程；把圓C的極坐標(biāo)方程依據(jù)互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得  ${（{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=5$，即${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$得直線l的普通方程為$x+y-3-\sqrt{5}=0$．
又由$ρ=2\sqrt{5}sinθ$得圓C的直角坐標(biāo)方程為${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}y=0$
即${x^2}+{（y-\sqrt{5}）^2}=5$；
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，
得  ${（{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=5$，即${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，
由于$△={（{3\sqrt{2}}）^2}-4×4=2＞0$，
故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=3\sqrt{2}}\\{{t_1}•{t_2}=4}\end{array}}\right.$，
∴t₁＞0，t₂＞0…（7分）
又有直線l過點(diǎn)$P（{3，\sqrt{5}}）$，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂
所以|PA|=t₁，|PB|=t₂
所以$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．