Question

1．在曲線y=x²（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為$\frac{1}{12}$，則這個切線方程是．（　�。�

• A． y=-2x-1
• B． y=-2x+1
• C． y=2x-1
• D． y=2x+1

Answer 1

分析 先求切點A的坐標，設(shè)點A的坐標為（a，a²），故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而得到切線的方程進而求得面積的表達式．建立關(guān)于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：設(shè)點A的坐標為（a，a²），
過點A的切線的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過點A的切線l的方程為y-a²=2a（x-a），
即y=2ax-a²，令y=0，得x=$\frac{a}{2}$，
則S=S_△ABO-S_△ABC=-（$\frac{1}{2}$•$\frac{a}{2}$•a²-${∫}_{0}^{a}$x²dx）=$\frac{{x}^{3}}{3}$${|}_{0}^{a}$-$\frac{{a}^{3}}{4}$=$\frac{{a}^{3}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=1，
∴切點A的坐標為（1，1），k=2，
∴過切點A的切線方程是y=2x-1．
故選C．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、定積分的應(yīng)用、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．