Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-a．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=x-1相切，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）-lnx＞0恒成立，求整數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}-a$），由題意列關(guān)于x₀與a的方程組求解；
（Ⅱ）證明e^x＞x+1，lnx≤x-1（x＞0），可得e^x-2＞x-1≥lnx，則當(dāng)a≤2時(shí)，e^x-a≥e^x-2＞x-1≥lnx，即a≤2時(shí)，f（x）-lnx＞0成立．說(shuō)明當(dāng)a=3時(shí)，存在x使e^x-3≤lnx，即e^x-3＞lnx不恒成立，可得整數(shù)a的最大值為2．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=x-1相切，
設(shè)切點(diǎn)為（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}-a$），
則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=1}\\{{e}^{{x}_{0}}-a={x}_{0}-1}\end{array}\right.$，解得x₀=0，a=2；
（Ⅱ）現(xiàn)證明e^x＞x+1（x＞0），
設(shè)F（x）=e^x-x-1，令F′（x）=e^x-1=0，即x=0，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為單調(diào)增函數(shù)，
∴F（x）_min=F（0）=0；
同理可證lnx≤x-1．
即e^x-2＞x-1≥lnx，
由題意，當(dāng)a≤2時(shí)，e^x-a≥e^x-2＞x-1≥lnx，
即a≤2時(shí)，f（x）-lnx＞0成立．
又當(dāng)a=3時(shí)，存在x使e^x-3≤lnx，即e^x-3＞lnx不恒成立．
因此整數(shù)a的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)比較大小等，考查學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力，是中檔題．