Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+3，x∈[-3，0]}\\{\sqrt{9-{x}^{2}}，x∈（0，3]}\end{array}\right.$，則${∫}_{-3}^{3}$f（x）dx=6+$\frac{9π}{4}$．

Answer 1

分析 分部積分，第一部分公式法，第二部分幾何意義．

解答 解：當(dāng)x∈[-3，0]時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+3，則${∫}_{-3}^{0}$（-$\frac{1}{3}$x²+3）dx=（-$\frac{1}{9}$x³+3x）=|${\;}_{-3}^{0}$=0-（3-9）=6，
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，則${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的圓的面積的四分之一，故${∫}_{0}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9}{4}$π，
故${∫}_{-3}^{3}$f（x）=6+$\frac{9π}{4}$
故答案為：6+$\frac{9π}{4}$

點(diǎn)評 本題考查了定積分的計(jì)算和定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．