【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=.
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PBC;
(Ⅱ)設(shè)H為CD上一點(diǎn),滿足=2,若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為,求二面角H-PB-C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)通過(guò)勾股定理可得BC⊥BD,利用面面垂直的判定定理即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(guò)題意以D為原點(diǎn),DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系,所求二面角的余弦值即為平面HPB的一個(gè)法向量與平面PBC的一個(gè)法向量的夾角的余弦值,計(jì)算即可.
試題解析:
(Ⅰ)證明:由AD⊥CD,AB∥CD,AD=AB=1BD=,
又BC=,∴CD=2,∴BC⊥BD,因?yàn)?/span>PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.
因?yàn)?/span>PD∩BD=D,所以BC⊥平面PBD,所以平面PBD⊥平面PBC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC為PC與底面PBD所成的角.
所以tan∠BPC=,
所以PB=,PD=1,又=2及CD=2,
可得CH=,DH=.
以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP分別x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系,則B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H.
設(shè)平面HPB的法向量為n=(x1,y1,z1),
則由得取n=(1,-3,-2),
設(shè)平面PBC的法向量為m=(x2,y2,z2),
則由得取m=(1,1,2).
所以cos〈m·n〉==-,所以二面角H-PB-C余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的行人,對(duì)過(guò)馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | |
走天橋 | 40 | 20 | 60 |
走斑馬線 | 20 | 30 | 50 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
由 ,算得
參照獨(dú)立性檢驗(yàn)附表,得到的正確結(jié)論是( )
A.有99%的把握認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別有關(guān)”
B.有99%的把握認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別無(wú)關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別有關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的最小正周期為π,且f( )= .
(1)求ω和φ的值;
(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,己知c﹣b=2bcosA.
(1)若a=2 ,b=3,求c;
(2)若C= ,求角B.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),以原點(diǎn) 為極點(diǎn),以 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求曲線 的普通方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)試判斷曲線 與 是否存在兩個(gè)交點(diǎn),若存在,求出兩交點(diǎn)間的距離;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合U={x∈N|0<x≤8},S={1,2,4,5},T={3,5,7},則S∩(UT)=( )
A.{1,2,4}
B.{1,2,3,4,5,7}
C.{1,2}
D.{1,2,4,5,6,8}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓錐曲線 ( 是參數(shù))和定點(diǎn) , F1 , F2 是圓錐曲線的左、右焦點(diǎn).
(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn) F2 且垂直于直線 AF1 的直線 l 的參數(shù)方程;
(2)設(shè) P 為曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn),求 P 到直線 l 距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形和等邊三角形中, ,平面平面.
(1)在上找一點(diǎn),使,并說(shuō)明理由;
(2)在(1)的條件下,求平面與平面所成銳二面角余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大。
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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