【題目】選修4-5:不等式選講
已知不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的最小值;
(Ⅱ)若,且滿足,求證:.
【答案】見解析
【解析】(Ⅰ)不等式等價(jià)于.……………1分
令,則不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于
.………………2分
而作出函數(shù)的圖象,由圖可知,函數(shù)的最小值為,即,所以,即,故.……………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,其中,所以,,,
所以原不等式等價(jià)于 .……………6分
下面證明不等式:
因?yàn)?/span>(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).……………8分
三式相加得:(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),……………9分
所以,即.………10分
【命題意圖】本題考查含有絕對(duì)值的不等式恒成立問題、不等式的證明、函數(shù)圖象的應(yīng)用,意在考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x(百臺(tái)),總成本為C(x)(萬元),其中固定成本為2萬元,每生產(chǎn)1百臺(tái),成本增加1萬元,銷售收入 (萬元),假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡.
(1)若要該廠不虧本,產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
(2)該廠年產(chǎn)多少臺(tái)時(shí),可使利潤最大?
(3)求該廠利潤最大時(shí)產(chǎn)品的售價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,第一年投入資金1000萬元,出售產(chǎn)品收入40萬元,預(yù)計(jì)以后每年的投入資金是上一年的一半,出售產(chǎn)品所得收入比上一年多80萬元,同時(shí),當(dāng)預(yù)計(jì)投入的資金低于20萬元時(shí),就按20萬元投入,且當(dāng)年出售產(chǎn)品收入與上一年相等.
(1)求第年的預(yù)計(jì)投入資金與出售產(chǎn)品的收入;
(2)預(yù)計(jì)從哪一年起該公司開始盈利?(注:盈利是指總收入大于總投入)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的取值范圍;
(3)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判定f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取了100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表:
空氣質(zhì)量指數(shù)t | (0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,300] | |
質(zhì)量等級(jí) | 優(yōu) | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù)K | 5 | 23 | 22 | 25 | 15 | 10 |
(1)在該城市各醫(yī)院每天收治上呼吸道病癥總?cè)藬?shù)y與當(dāng)天的空氣質(zhì)量t(t取整數(shù))存在如下關(guān)系y=,且當(dāng)t>300時(shí),y>500估計(jì)在某一醫(yī)院收治此類病癥人數(shù)超過200人的概率;
(2)若在(1)中,當(dāng)t>300時(shí),y與t的關(guān)系擬合于曲線,現(xiàn)已取出了10對(duì)樣本數(shù)據(jù)(ti,yi)(i=1,2,3,…,10),且,求擬合曲線方程.
(附:線性回歸方程=a+bx中,b=,a=﹣b)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩個(gè)解的是( )
A.a=7,b=14,A=30°
B.a=20,b=26,A=150°
C.a=30,b=40,A=30°
D.a=72,b=60,A=135°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一(2)班共有60名同學(xué)參加期末考試,現(xiàn)將其數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)(均為整數(shù))分成六個(gè)分?jǐn)?shù)段, ,…, ,畫出如下圖所示的部分頻率分布直方圖,請(qǐng)觀察圖形信息,回答下列問題:
(1)估計(jì)這次考試中數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)的中位數(shù);
(2)現(xiàn)根據(jù)本次考試分?jǐn)?shù)分成下列六段(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組)為提高本班數(shù)學(xué)整體成績(jī),決定組與組之間進(jìn)行幫扶學(xué)習(xí).若選出的兩組分?jǐn)?shù)之差大于30分(以分?jǐn)?shù)段為依據(jù),不以具體學(xué)生分?jǐn)?shù)為依據(jù)),則稱這兩組為“最佳組合”,試求選出的兩組為“最佳組合”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中,有這樣的一首歌謠,叫做浮屠增級(jí)歌.“遠(yuǎn)看巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加倍;共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”本題是說,“遠(yuǎn)處有一座雄偉的佛塔,塔上掛滿了許多紅燈,下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,全塔共有381盞,試問頂層有幾盞燈?”;同樣在這本書中還有一道著名算題:“一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無爭(zhēng),小僧三人分一個(gè),大小和尚各幾。俊比绻g成白話文,其意思是:“有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,如果大和尚一人分3個(gè),小和尚3人分一個(gè),正好分完.”現(xiàn)按照分層抽樣的辦法從這100名和尚中選取12人派去布置第一個(gè)問題中最頂層的燈,那么每盞燈需要分派的大小和尚數(shù)各為(A)1人,3人 (B)2人,4人 (C)3人,6人 (D)3人,9人
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