Question

2．過點(diǎn)M（4，3）作斜率為2的直線與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出斜率，從而得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，再求離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵點(diǎn)M（4，3）是AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=6，
∵直線l的斜率為2，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線方程，
相減整理可得①-②得a²=$\frac{2}{3}$b²，
∴c²=$\frac{5}{3}$a²，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“設(shè)而不求”法求直線l的斜率．