Question

17．已知x=3是函數(shù)f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+2的一個極值點
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式b＜f（x），x∈[2，4]時恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（3）=0，可得a，再令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）求出f（x）在[2，4]的最小值，由恒成立思想可得b＜f（x）_min，即可得到b的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+2，
則f′（x）=3ax²-3x，
又x=3是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，
f′（3）=0，即有27a-9=0，
解得a=$\frac{1}{3}$，
此時f′（x）=x²-3x=x（x-3），
由f′（x）＞0得x＜0或x＞3，f′（x）＜0得0＜x＜3，
故f（x）的單增區(qū)間為（-∞，0）（3，+∞），單減區(qū)間為（0，3）；
（Ⅱ）由（1）知：f（x）在[2，3]上為減函數(shù)，在[3，4]上為增函數(shù)，
則當x∈[2∈4]時，f（x）_min=f（3）=-$\frac{5}{2}$，
由b＜f（x），x∈[2，4]恒成立，
即b＜f（x）_min，
故b＜-$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用和不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．