Question

在{1，2，3，…，5m}中任取一個(gè)數(shù)n，記ξ為f（n）=

2n2+12n+1

10n

的整數(shù)部分．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
（2）求ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì),推理和證明

分析：（1）m=1時(shí)，{1，2，3，4，5}中任取一個(gè)數(shù)n，得到ζ的取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的每個(gè)數(shù)的概率和期望；
（2）由題意可得，若f（n）-z=

2n2+12n+1

10n

-z＞0，則n≥

10z-12+10z-12

4

=5z-6，從而可得P（ζ=1）=

3

5m

，P（ζ=2）=

5

5m

=

1

m

，P（ζ=3）=

5

5m

=

1

m

，P（ζ=m+1）=

2

5m

；從而求概率分布與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）m=1時(shí)，{1，2，3，4，5}中任取一個(gè)數(shù)n，則f（1）=

15

10

=

3

2

，所以整數(shù)部分為1，
f（2）=

2×4+12×2+1

10×2

=

33

20

，其整數(shù)部分為1，
f（3）=

18+36+1

30

=

55

30

，整數(shù)部分為1；
f（4）=

32+48+1

40

=

81

40

，整數(shù)部分為2；
f（5）=

50+60+1

50

=

111

50

，整數(shù)部分為2，
所以ζ的取值為1，2；
P（ζ=1）=

3

5

，P（ζ=2）=

2

5

；
所以ζ的分布列如下：

ζ	1	2
P	3 5	2 5

E_ζ=1×

3

5

+2×

2

5

=

7

5

；
（2）f（n）-1=

2n2+12n+1

10n

-1＞0，
f（n）-2=

2n2+12n+1

10n

-2＞0，
n≥4，
…，
若f（n）-z=

2n2+12n+1

10n

-z＞0，
則由2n²+（12-10z）n+1=0解得，
n=

10z-12± (10z-12)2-8

4

，（z≥2）
則由f（n）-z=

2n2+12n+1

10n

-z＞0，且n為自然數(shù)可得，
n≥

10z-12+10z-12

4

=5z-6，
則在{1，2，3，…，5m}中取數(shù)，ζ的取值為1，2，3，…，m+1；
P（ζ=1）=

3

5m

，P（ζ=2）=

5

5m

=

1

m

，P（ζ=3）=

5

5m

=

1

m

，P（ζ=m+1）=

2

5m

；
所以ζ的分布列如下：

ζ	1	2	3	…	m-1	m	m+1
P	3 5m	1 m	1 m		1 m	1 m	2 5m

E_ζ=1×

3

5m

+2×

1

m

+3×

1

m

+…+m×

1

m

+（m+1）

2

5m

=

5m+9

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了概率分布與數(shù)學(xué)期望，難點(diǎn)在于取整函數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．