已知a，b，c>0，求證：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c)．


證明：∵a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)，又a，b>0，

∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，

∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，

∴a3＋b3≥a2b＋ab2.

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，

將三式相加得，

2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2，

∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)，

∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(　C　)

(A)a∥c,b∥c    (B)a∥b,a⊥c

(C)a∥c,a⊥b    (D)以上都不對(duì)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


圓心在曲線y＝－(x>0)上，且與直線3x－4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


(1)如圖K37­4所示，該數(shù)表滿足：①從第2行起，第n行首尾兩數(shù)均為n；②數(shù)表中遞推關(guān)系類似楊輝三角．記第n(n>1)行第2個(gè)數(shù)為f(n)，根據(jù)數(shù)表中上、下兩行的數(shù)據(jù)關(guān)系，可以得到遞推關(guān)系為f(n)＝________，并通過有關(guān)求解可得通項(xiàng)f(n)＝________．

1

2　2

3　4　3

4　7　7　4

…　…　…　…

圖K37­4

(2)觀察下列等式：

23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，….若用類似以上各式的拆分方法將m3分拆得到的等式的右邊最后一個(gè)數(shù)是109，則正整數(shù)m等于________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)0＜a＜b，a＋b＝1，則下列不等式中正確的是(　　)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，試歸納猜想出Sn＝________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


同一個(gè)平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，并且三個(gè)圓不過同一個(gè)點(diǎn)，則這n個(gè)圓把平面分成(　　)

A．2n部分  B．n2部分

C．2n－2部分  D．n2－n＋2部分

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


一個(gè)正方體的展開圖如圖K41­4所示，B，C，D為原正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)．在原正方體中，CD與AB所成角的余弦值為________．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知在空間四邊形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是銳角三角形，則必有(　　)

A．平面ABD⊥平面ADC 

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BDC 

D．平面ABC⊥平面BDC

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案