Question

3．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，且f（0）=-1，數(shù)列{a_n}是以$\frac{π}{4}$為公差的等差數(shù)列，若f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，則$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2}}$=（　�。�

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x-cosx+c，利用f（0）=-1，可得：f（x）=2x-cosx．由數(shù)列{a_n}是以$\frac{π}{4}$為公差的等差數(shù)列，可得a_n=a₂+（n-2）×$\frac{π}{4}$．由f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，化簡(jiǎn)可得6a₂-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{4}）$=$\frac{3π}{2}$．利用單調(diào)性可得a₂，即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，
可設(shè)f（x）=2x-cosx+c，
∵f（0）=-1，∴-1+c=-1，可得c=0．
∴f（x）=2x-cosx．
∵數(shù)列{a_n}是以$\frac{π}{4}$為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）×$\frac{π}{4}$，
∵f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=3π，
∴2（a₂+a₃+a₄）-（cosa₂+cosa₃+cosa₄）=3π，
∴6a₂+$\frac{3π}{2}$-cosa₂-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{4}）$-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{2}）$=3π，
∴6a₂-$cos（{a}_{2}+\frac{π}{4}）$=$\frac{3π}{2}$．
令g（x）=6x-cos$（x+\frac{π}{4}）$-$\frac{3π}{2}$，
則g′（x）=6+sin$（x+\frac{π}{4}）$在R上單調(diào)遞增，
又$g（\frac{π}{4}）$=0．
∴a₂=$\frac{π}{4}$．
則$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{π}{4}+2014×\frac{π}{4}}{\frac{π}{4}}$=2015．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．