Question

20．已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，4）．
（1）求△ABC外接圓⊙M的方程；
（2）若直線l與⊙M相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）解法1：設(shè)⊙M的方程為一般式，根據(jù)條件列出方程組，求解后即可求出⊙M的方程；
解法2：根據(jù)A（1，0），B（1，4）的橫坐標(biāo)相同設(shè)M（m，2），由半徑相等和兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程求出m，可得⊙M的方程；
解法3：由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$，由向量的數(shù)量積運(yùn)算求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$和模，判斷出△ACB是等腰直角三角形，由直角三角形外接圓的性質(zhì)求出⊙M的方程；
（2）對(duì)直線l的斜率存在問(wèn)題分類討論，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式列出方程，求出直線的斜率，即可得到直線方程．

解答 解：（1）解法1：設(shè)⊙M的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（2分）
則由題意得$\left\{\begin{array}{l}1+D+F=0\\ 17+D+4E+F=0\\ 13+3D+2E+F=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=-4\\ F=1\end{array}\right.$，…（6分），
∴⊙M的方程為x²+y²-2x-4y+1=0，或（x-1）²+（y-2）²=4…（8分）
解法2：∵A（1，0），B（1，4）的橫坐標(biāo)相同，故可設(shè)M（m，2），…（3分）
由MA²=MC²得（m-1）²+4=（m-3）²，解得m=1…（6分）
∴⊙M的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，或x²+y²-2x-4y+1=0…（8分）
解法3：∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴$\overrightarrow{CA}=（2，2），\overrightarrow{CB}=（2，-2）$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0，|{\overrightarrow{CA}}|=|{\overrightarrow{CB}}|$，則△ACB是等腰直角三角形，
因而△ACB圓心為（1，2），半徑為2，…（6分）
∴⊙M的方程為（x-1）²+（y-2）²=4…（8分）
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l方程為x=0，它截⊙M得弦長(zhǎng)恰為$2\sqrt{3}$…（9分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+4…（10分）
∵圓心到直線y=kx+4的距離d=$\frac{{|{k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$…（11分）
由勾股定理得${（\frac{{|{k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}+{（\frac{{2\sqrt{3}}}{2}）^2}=4$，解得$k=-\frac{3}{4}$…（14分）
故直線l的方程為x=0或3x+4y-16=0…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程求法：待定系數(shù)法和幾何法，直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題常根據(jù)半弦長(zhǎng)，弦心距，半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解，考查一題多解，以及化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．