Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R． （Ⅰ） 當(dāng)a=﹣1時，求證：f（x）≤0；
（Ⅱ） 對任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范圍．
（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），

則 ，令f'（x）=0，得x=1．

當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

故當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，也為最大值，所以f（x）max=f（1）=0，

所以，f（x）≤0，得證．

（II）原題即對任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使 成立，

只需 ．（5分）

設(shè) ，則 ，

令u（t）=t﹣1﹣lnt，則 對于t≥e恒成立，

所以u（t）=t﹣1﹣lnt為[e，+∞）上的增函數(shù)，

于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即 對于t≥e恒成立，

所以 為[e，+∞）上的增函數(shù)，則 ．（8分）

令p（x）=﹣f（x）﹣a，則p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，

當(dāng)a≥0時，p（x）=﹣lnx﹣ax為（0，+∞）的減函數(shù)，且其值域?yàn)镽，符合題意．

當(dāng)a＜0時， ，由p'（x）=0得 ，

由p'（x）＞0得 ，則p（x）在 上為增函數(shù)；

由p'（x）＜0得 ，則p（x）在 上為減函數(shù)，

所以 ，

從而由 ，解得 ．

綜上所述，a的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)f（x）的最大值，證明結(jié)論即可；

（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明 ，設(shè) ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．