Question

15．過(guò)雙曲線x²-3y²=3的右焦點(diǎn)F₂作傾斜角為60°的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|；  
（2）若F₁是雙曲線的左焦點(diǎn)，求△ABF₁的面積．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的方程可得a=$\sqrt{3}$，c=2，焦點(diǎn)F₂（2，0），故直線方程為y=$\sqrt{3}$（x-2），再利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能夠?qū)С鰘AB|的值．
（2）先求出直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)F₁（-2，0）到直線AB的距離d，由此能求出△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}$•|AB|•d的值．

解答 解：（1）雙曲線x²-3y²=3，即 $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，
它的右焦點(diǎn)為F₂（2，0），
直線AB的斜率為k=tan60°=$\sqrt{3}$，
故直線AB的方程為y-0=$\sqrt{3}$（x-2），
代入雙曲線方程，可得8x²-36x+39=0，
∴x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，x₁•x₂=$\frac{39}{8}$，
∴|AB|=$\sqrt{1{+（\sqrt{3}）}^{2}}$•|x₁-x₂|=2•$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$
=2$\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{39}{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵左焦點(diǎn)F₁（-2，0），右焦點(diǎn)F₂（2，0），直線AB的方程為y-0=tan60°（x-2），
即直線AB：$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0，故點(diǎn)F₁（-2，0）到直線AB的距離為d=$\frac{|-2\sqrt{3}-0-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=2$\sqrt{3}$，
故∴△F₁AB的面積為S=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•2$\sqrt{3}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，屬于中檔題．