Question

7．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（4，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，λsinθ）（λ∈R）．
（1）設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為α，求tanα；
（2）若（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$的最大值$\sqrt{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用夾角公式求出cosα，得出sinα，
（2）代入坐標公式求出（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$，利用輔助角公式解出最大值，求出λ．

解答 解：（1）cosα=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=-$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{17}}$．∴sinα=$\frac{5}{\sqrt{34}}$．∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{5}{3}$．
（2）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=（2，3）•（cosθ，λsinθ）=2cosθ+3λsinθ=$\sqrt{4+9{λ}^{2}}$sin（θ+φ）．
∴$\sqrt{4+9{λ}^{2}}$=$\sqrt{5}$．解得λ=$\frac{1}{3}$，或λ=-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的夾角公式，數(shù)量積公式及三角函數(shù)化簡，是中檔題．