Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）對m分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)先求出，再構(gòu)造函數(shù)，，求它的范圍.

詳解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，且，，

令，，

當(dāng)，即時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減；

當(dāng)，即時(shí)，由，解得，，

若，則，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；

若，則，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；

綜上所述：時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；

時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?/span>，且，

∵函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，∴在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，

記，則∴，

從而由且，可得，，

∴ ，

構(gòu)造函數(shù)，，

則，

記，，則，

令，得（，故舍去），

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，

∴當(dāng)時(shí)，恒有，即，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，即，

∴．