Question

17．設a、b為正實數(shù)，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2$\sqrt{2}$．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）若（a-b）²≥4（ab）³，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）根據基本不等式得出ab$≥\frac{1}{2}$（a=b時等號成立），
利用a²+b²≥2ab=$2×\frac{1}{2}=1$（a=b時等號成立）求解即可．
（2）根據$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴a$+b=2\sqrt{2}ab$，
代入得出（a+b）²-4ab≥4（ab）³，即（2$\sqrt{2}ab$）²-4ab≥4（ab）³
求解即可得出ab=1

解答 解：（1）∵a、b為正實數(shù)，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴a、b為正實數(shù)，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2$\sqrt{2}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$（a=b時等號成立）．
即ab$≥\frac{1}{2}$（a=b時等號成立）
∵a²+b²≥2ab=$2×\frac{1}{2}=1$（a=b時等號成立）．
∴a²+b²的最小值為1，
（2）∵且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴a$+b=2\sqrt{2}ab$
∵（a-b）²≥4（ab）³，
∴（a+b）²-4ab≥4（ab）³
即（2$\sqrt{2}ab$）²-4ab≥4（ab）³
即（ab）²-2ab+1≤0，（ab-1）²≤0，
∵a、b為正實數(shù)，
∴ab=1

點評 本題考查了基本不等式，考查了運用基本不等式求函數(shù)的最值，運用基本不等式求函數(shù)最值時，要保證：“一正、二定、三相等”，此題是基礎題