Question

7．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=$\sqrt{2}$，AB=AC．
（1）求證：BE⊥面ABC；
（2）設(shè)△ABC為等邊三角形，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用底面是矩形得到BE⊥BC，結(jié)合側(cè)面ABC⊥底面BCDE得到所證；
（2）利用（1）的結(jié)論，取AB的中點(diǎn)H，連接EH利用△ABC為等邊三角形得到∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．

解答 （1）證明：∵底面BCDE為矩形，∴BE⊥BC．∵側(cè)面ABC⊥底面BCDE，且交線為BC，BE?平面ABCD．∴BE⊥面ABC．
（2）解：由（1）可知BE⊥面ABC．∵BE?平面ABE．∴平面ABE⊥底面ABC，且交線為AB．
取AB的中點(diǎn)H，連接EH．∵△ABC為等邊三角形，
∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．∴∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．
在矩形BCDE中，$CE=\sqrt{6}$． 在正△ABC中，$CH=\sqrt{3}$．
∴$sin∠CEH=\frac{CH}{CE}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間面面垂直和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用以及求線面角；關(guān)鍵是利用定理將線面角轉(zhuǎn)化為線線角．