Question

（本小題滿分12分）如圖，為空間四點(diǎn)．在中， ．等邊三角形以為軸運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)平面平面時(shí)，求；

（2）當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，證明總有？

 

Answer 1

【答案】

（1）． （2）證明：見解析。

【解析】本題考查用線面垂直的方法來證明線線垂直，考查答題者的空間想象能力．

（Ⅰ）取出AB中點(diǎn)E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD．

（Ⅱ）總有AB⊥CD，當(dāng)D∈面ABC內(nèi)時(shí)，顯然有AB⊥CD，當(dāng)D在而ABC外時(shí)，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．

解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916485067579291/SYS201211191650059726876263_DA.files/image005.png">是等邊三角形，所以．

當(dāng)平面平面時(shí)，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916485067579291/SYS201211191650059726876263_DA.files/image009.png">平面，

所以平面，可知                        …………4分

由已知可得，

 在中，．                  …………6分

（2）證明：

（ⅰ）當(dāng)在平面內(nèi)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916485067579291/SYS201211191650059726876263_DA.files/image017.png">，

所以都在線段的垂直平分線上，即．

（ⅱ）當(dāng)不在平面內(nèi)時(shí)，由（Ⅰ）知．

又因，所以．

又為相交直線，所以平面，

由平面，得．

綜上所述，總有．                 …………12分