Question

設(shè)x，y，a都是實(shí)數(shù)，且x+y=2a-1，x²+y²=a²+2a-3，求乘積xy的最小值及相應(yīng)的a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于x²+y²=a²+2a-3，可知：a²+2a-3≥0，解得a≥1或a≤-3．若直線x+y=2a-1與上述圓有公共點(diǎn)，則

|2a-1|

2

≤

a2+2a-3

，可得a取值范圍，利用xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

代入整理為xy=

3

2

(a-1)2+

1

2

．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵x²+y²=a²+2a-3，
∴a²+2a-3≥0，解得a≥1或a≤-3．（*）
若直線x+y=2a-1與上述圓有公共點(diǎn)，則

|2a-1|

2

≤

a2+2a-3

，
解得

4- 2

2

≤a≤

4+ 2

2

，可知滿足（*）．
∴a的取值范圍是[

4- 2

2

，

4+ 2

2

]．
又xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

(2a-1)2-(a2+2a-3)

2

=

3

2

a2+3a+2．
∴xy=

3

2

(a-1)2+

1

2

．
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（a）=

3

2

(a-1)2+

1

2

單調(diào)遞增．
而

4- 2

2

≤a≤

4+ 2

2

，∴當(dāng)a=

4- 2

2

時(shí)，xy取得最小值

3

2

(

4- 2

2

-1)2+

1

2

，即為

11-6 2

4

．
綜上可知：當(dāng)且僅當(dāng)a=

4- 2

2

時(shí)，xy取得最小值

11-6 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一元二次不等式的解法、分類討論、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．