Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax﹣1．
（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣a，

要使f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，需3x2﹣a≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，

即a≤3x2在（﹣∞，+∞）上恒成立，∴a≤0．

因此當(dāng) f（x）在（﹣∞，+∞） 上單調(diào)遞增時，a 的取值范圍是（﹣∞，0]

（2）解：若f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，

則對于任意 x∈（﹣1，1），不等式f′（x）=3x2﹣a≤0 恒成立，即 a≥3x2，

又 x∈（﹣1，1）時，3x2＜3，∴a≥3，

∴函數(shù) f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在（﹣∞，+∞）上大于等于0恒成立，分離參數(shù)a得答案；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分離參數(shù)a，求得3x2在（﹣1，1）上的最大值得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．