Question

7．已知正數(shù)x，y滿足x+2y=3，當(dāng)xy取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（x，y）引圓：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{2}$的切線，則此切線段的長(zhǎng)度為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)可得P的坐標(biāo)，再利用直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理即可得出．

解答 解：正數(shù)x，y滿足x+2y=3，∴3≥2$\sqrt{x•2y}$，可得：xy≤$\frac{9}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)xy取得最大值時(shí)，點(diǎn)P$（\frac{3}{2}，\frac{3}{4}）$．
則切線段的長(zhǎng)度為$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)可得P的坐標(biāo)，再利用直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．