Question

求函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|（x∈R）的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由絕對值的幾何意義聯(lián)想到求距離的最小值，如|x-a|+|x-b|的最小值應該是在數(shù)軸上a，b兩點之間取得，最小值為|a-b|，
由此把函數(shù)f（x）整理為|x-1|+|x-

1

2

||+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+…+|x-

1

2011

|，再用絕對值的意義解題．

解答： 解：由絕對值的幾何意義聯(lián)想到求距離的最小值，如|x-a|+|x-b|的最小值應該是在數(shù)軸上a，b兩點之間取得，且最小值為|a-b|
所以將函數(shù)f（x）的右邊整理為|x-1|+|x-

1

2

||+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+|x-

1

2011

|+…+|x-

1

2011

|，
共有1+2+3+…+2011=1006×2011項，則f（x）可以理解為x 到這1006×2011個點的距離之和
從兩端開始向中間靠攏，每兩個絕對值和的最小值都是在相應的零點之間取得，而且范圍是包含關系，比如|x-1|+|x-

1

2011

|的
最小值是在x∈[

1

2011

，1]上取得，再如|x-

1

2

|+|x-

1

2011

|的最小值是在x∈[

1

2011

，

1

2

]上取得，
所以，f（x）的最小值應該在正中間的某個零點或相鄰兩個零點之間取得，
由

1006×2011

2

=503×2011 可知取得最小值的范圍在第503×2011個零點和第503×2011+1個零點之間（這兩個零點也可能相等）
由

n×(n+1)

2

＜503×2011 算得n≤1421，
所以第503×2011個零點和第503×2011+1個零點均為

1

1422

則f_min=f（

1

1422

）=

592043

711

．

點評：本題主要應用絕對值的意義求解函數(shù)的最值，此等類型的題目應合理轉化．