Question

直線l：y=m（m為實(shí)常數(shù)）與曲線E：y=|lnx|的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，曲線E在點(diǎn)A、B處的切線PA、PB與y軸分別交于點(diǎn)M、N，有下面4個(gè)結(jié)論：
①|(zhì)

MN

|=2；
②三角形PAB可能為等腰三角形；
③若直線l與y軸的交點(diǎn)為Q，則|PQ|=1；
④是函數(shù)g（x）=x²+lnx的零點(diǎn)時(shí)，|

AO

|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）取得最小值．
其中正確結(jié)論有

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①畫出y=m和y=|lnx|的圖象，求出切線的斜率，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)M，N，即可得到MN的長(zhǎng)，即可判斷①；
②通過圖象觀察分析，兩切線垂直，即可判斷②；
③求出P的坐標(biāo)，再求PQ長(zhǎng)，即可判斷③；
④由零點(diǎn)的定義，求出AO的長(zhǎng)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，作出函數(shù)的圖象，由|lnx₁|=|lnx₂|，可得，-lnx₁=lnx₂，
所以x₁x₂=1，且0＜x₁＜1，x₂＞1，故A（x₁，-lnx₁）B（x₂，lnx₂），
在A點(diǎn)處的切線斜率為-

1

x1

，在B點(diǎn)處的切線斜率為：

1

x2

，
則設(shè)M（0，s），N（0，n），
則有

s+lnx1

-x1

=-

1

x1

，解得，s=1-lnx₁，
由

n-lnx2

-x2

=

1

x2

，解得，n=lnx₂-1，
則有|MN|=1-lnx₁-（lnx₂-1）=2-ln（x₁x₂）=2，故①正確；
對(duì)于②，若△PAB為等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，則P在AB的中垂線上，不可能；若PA=AB，易得P的橫坐標(biāo)小于1，不成立；
若PB=AB，則由于-

1

x1

•

1

x2

=-1，即有PA⊥BP，則不成立，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，Q（0，m），由y+lnx₁=1-

1

x1

x和y-lnx₂=

x

x2

-1，x₁x₂=1，
解得交點(diǎn)P（

2x1

1+x12

，1-lnx₁-

2

1+x12

），由于m=lnx₂=-lnx₁，
則有|PQ|=

( 2x1 1+x12 )2+( x12-1 1+x12 )2

=1．故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)x₁是函數(shù)g（x）=x²+lnx的零點(diǎn)時(shí)，即有x₁²+lnx₁=0，
|

AO

|=

x12+(lnx1)2

=

x14+x12

，由于0＜x₁＜1，則取不到最小值，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，著重考查曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離公式及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與分析運(yùn)算、判斷求解能力，屬于難題．