Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=

4

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x³-9x+2a+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-2，0]時，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出導(dǎo)數(shù)，然后解不等式，f'（x）＞0的解集是函數(shù)的遞增區(qū)間，f'（x）＜0的解集是函數(shù)的遞減區(qū)間；（Ⅱ）要使不等式在[-2，0]上恒成立，只要使f（x）在[-2，0]的最大值≤0即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f′（x）=4x²-9，
令f′（x）＞0，解得x＞

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，或x＜-

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；
令f′（x）＜0，解得-

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＜x＜

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．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

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），（

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，+∞）；
        單調(diào)遞減區(qū)間為(-

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，

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)．
（Ⅱ）要使不等式f（x）≤0在[-2，0]上恒成立，只要使f（x）在[-2，0]的最大值≤0，
由（Ⅰ）得f（x）在（-2，-

3

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）遞增，在（-

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，0）遞減，
∴x=-

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2

時，f（x）的最大值為f（-

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2

）=2a+10，
∴只要2a+10≤0，即a≤-5；
使不等式恒成立的a的取值范圍為（-∞，-5]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及恒成立問題的處理；
如果一個變量≤常數(shù)恒成立，只要變量的最大值≤此常數(shù)．