Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，且以a₃-2，a₃，a₃+2為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n+n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用以a₃-2，a₃，a₃+2為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，求出a₃，利用a₁+a₃是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，求出公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用疊加法，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵以a₃-2，a₃，a₃+2為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，
∴（a₃-2）²+a₃²=（a₃+2）²，
∵a₃≠0，
∴a₃=8，
∵a₁+a₃是a₂與a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
∴2（

8

q2

+8）=

8

q

+8q，
∴q=2，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n+n，
∴b_n+1-b_n=a_n+n，
∴b_n-b₁=（2+2²+…+2^n-1）+（1+2+…+n-1）=

2(1-2n-1)

1-2

+

n(n-1)

2

，
∴b_n=2ⁿ+

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．