Question

（1）f（x）=

ln(x+1)

x

（x＞0），求證：若m＞n＞0，則f（m）＜f（n）．
（2）求g（x）=lnx-ax²在[1，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）方法一：設(shè)B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））為函數(shù)y=ln（x+1）圖象上兩點(diǎn)，通過(guò)k_OA＞k_OB證明結(jié)果．
方法二：通過(guò)函數(shù)的對(duì)數(shù)判斷h（x）是減函數(shù)，由m＞n＞0可得f（m）＜f（n）．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)g'（x）=0得2ax²=1，當(dāng)a≤0時(shí)，求出最大值為g（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求出最大值為g（2），當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，求出函數(shù)的最大值為g（1），當(dāng)

1

8

＜a＜

1

2

時(shí)g（x）求出函數(shù)的最大值即可．

解答： 解：（1）方法一：設(shè)B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））為函數(shù)y=ln（x+1）圖象上兩點(diǎn)
而f（m），f（n）分別B、A兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
顯然k_OA＞k_OB
即f（m）＜f（n）          …（5分）
方法二：f′(x)=

x x+1 -ln(x+1)

x2

令h(x)=

x

x+1

-ln(x+1)h′(x)=

1

(x+1)2

-

1

x+1

=

-x

(x+1)2

＜0
∴h（x）是減函數(shù)
由x＞0得，h（x）＜h（0）=0
∴f'（x）＜0
∴f（x）是減函數(shù)
由m＞n＞0可得f（m）＜f（n）       …（5分）
（2）g′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

令g'（x）=0得2ax²=1    …①
當(dāng)a≤0時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)
∴最大值為g（2）
當(dāng)a＞0時(shí)，由①得x=

1 2a

若

1 2a

≥2即0＜a≤

1

8

時(shí)，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)
∴最大值為g（2）
若

1 2a

≤1即a≥

1

2

時(shí)，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上為減函數(shù)
∴最大值為g（1），
若1＜

1 2a

＜2即

1

8

＜a＜

1

2

時(shí)g（x）在（1，

1 2a

）上為增函數(shù)，在（

1 2a

，2）上為減函數(shù)
∴最大值為g(

1 2a

)=-

1

2

ln2a-

1

2

綜上得：a≤

1

8

時(shí)，最大值為ln2-4a

1

8

＜a＜

1

2

時(shí)，最大值為-

1

2

ln2a-

1

2

，
a≥

1

2

時(shí)，最大值為-a

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值的方法，考查計(jì)算能力．