Question

橢圓T的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（2，0），且橢圓T過點(diǎn)E（2，）．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓T上，設(shè)三條邊的中點(diǎn)分別為M，N，P．

（1）求橢圓T的離心率；

（2）設(shè)△ABC的三條邊所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且ki≠0，i=1，2，3．若直線OM，ON，OP的斜率之和為0，求證：++為定值．

　

Answer 1

解答： （1）解：設(shè)橢圓T的方程為，

由題意知：左焦點(diǎn)為F′（﹣2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=，

解得：．

故橢圓T的離心率為；

（2）證明：由（1）知橢圓T的方程為．

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），

M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），

由：，，兩式相減，得到

（x₁﹣x₂）（x₁+x₂）+2（y₁﹣y₂）（y₁+y₂）=0．

∴，即，

同理，．

∴，

又∵直線OM、ON、OP的斜率之和為0，

∴++=0為定值．