Question

13．已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減，命題q：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x²-3ax+1＞0恒成立；若p和q中有且只有一個(gè)命題為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，通過討論p，q的真假，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：若函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減，則0＜a＜1，
故p為真時(shí)：0＜a＜1；
若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x²-3ax+1＞0恒成立，
則△=9a²-4＜0，解得：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
故q為真時(shí)：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
若p和q中有且只有一個(gè)命題為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{0＜a＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$≤a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判定，考查指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．