Question

13．已知A={x|x＜-2或x≥3}，
（1）B={x|mx-1＞0}，當(dāng)B⊆A時(shí)，求實(shí)數(shù)m的范圍．
（2）B={x|2m-6≤x≤m+4}，當(dāng)B∩∁_UA=∅，求實(shí)數(shù)m的范圍．
（3）B={x|-m≤x≤m+4}，當(dāng)A∩B=∅，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）B={x|mx-1＞0}，根據(jù)條件B⊆A，討論集合B是否是空集，即可求實(shí)數(shù)m的范圍．
（2）B={x|2m-6≤x≤m+4}，當(dāng)B∩∁_UA=∅，討論集合B是否是空集，即可求實(shí)數(shù)m的范圍．
（3）B={x|-m≤x≤m+4}，當(dāng)A∩B=∅，討論集合B是否是空集，即可求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）B={x|mx-1＞0}={x|mx＞1}，
若m=0，則B=∅，滿足條件．B⊆A，
若m＞0，則B={x|x＞$\frac{1}{m}$}，若B⊆A，則$\frac{1}{m}$≥3，即0＜m≤$\frac{1}{3}$，
若m＜0，則B={x|x＜$\frac{1}{m}$}，若B⊆A，則$\frac{1}{m}$≤-2，即$-\frac{1}{2}$≤m＜0，
綜上$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{3}$．
（2）∵A={x|x＜-2或x≥3}，
∴∁_UA={x|-2≤x＜3}，
∵B={x|2m-6≤x≤m+4}，
∴若B=∅，即2m-6＞m+4，解得m＞10時(shí)，滿足條件B∩∁_UA=∅，
若B≠∅，即m≤10，
若B∩∁_UA=∅，
則2m-6≥3或m+4＜-2，
即m≥$\frac{9}{2}$或m＜-6，
∵m≤10，
∴$\frac{9}{2}$≤m≤10，或m＜-6．
（3）若-m＞m+4，即m＜-2時(shí)，B=∅，滿足A∩B=∅，
若m≥-2時(shí)，B≠∅，
若滿足A∩B=∅，
則$\left\{\begin{array}{l}{-m≥-2}\\{m+4＜3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m＜-1}\end{array}\right.$，解得m＜-1．
此時(shí)-2≤m＜-1，
綜上m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算和集合關(guān)系的應(yīng)用，注意要對(duì)集合B是否是空集進(jìn)行討論．