Question

已知圓C過(guò)原點(diǎn)，圓心在射線y=2x（x＞0）上，半徑為

5

．
（1）求圓C的方程．
（2）若M為直線x+2y+5=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作圓C的切線，切點(diǎn)為A，求|MA|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²，由條件列出方程，解出a，b即可；
（2）在直角三角形MAC中，|MA|²=|MC|²-|AC|²═|MC|²-5，要求|MA|的最小值，只要求|MC|的最小值，而C到直線x+2y+5=0的距離d即為|MC|的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²，
則a²+b²=r²①，b=2a②，r=

5

③（a＞0）
解得a=1，b=2．
故圓C：（x-1）²+（y-2）²=5．
（2）如圖，MA⊥AC，在直角三角形MAC中，
|MA|²=|MC|²-|AC|²═|MC|²-5，
要求|MA|的最小值，只要求|MC|的最小值，
而C到直線x+2y+5=0的距離d即為|MC|的最小值，由于d=

|1+2×2+5|

1+4

=2

5

，
則|MA|的最小值為

20-5

=

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系：相切，求切線長(zhǎng)問(wèn)題，考查幾何法求最值的方法，是一道中檔題．