Question

設f（x）=log₂

1+x

1-x

（-1＜x＜1），F(xiàn)（x）=f（x）+

1

2-x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷F（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）指出G（x）=F（x）-

1

2

的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和單調(diào)性的定義進行判斷和證明即可

解答： （1）因為函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），
∴f（-x）+f（x）=log2

1-x

1+x

+log2

1+x

1-x

=0，
故可得f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
因為-1＜x₁＜x₂＜1，
所以0＜（1+x₁）（1-x₂）=1+x₁-x₂-x₁x₂＜1+x₂-x₁-x₁x₂=（1-x₁）（1+x₂），
即0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1，
所以log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）是增函數(shù)   
（3）G（x）=F（x）-

1

2

 在（-1，1）上是增函數(shù)，而G（0）=F（0）-

1

2

=0，
故x=0是G（x）=F（x）-

1

2

的唯一零點．
因此G（x）=F（x）-

1

2

的零點個數(shù)為1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵