Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}，且b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)代入直線方程，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，
可得a_n-a_n+1+1=0，即為a_n+1-a_n=1，
即數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
可得a_n=1+n-1=n；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力化簡能力，屬于中檔題．