【題目】【湖南省2017屆高三長郡中學、衡陽八中等十三校重點中學第一次聯(lián)考數(shù)學（理）】

已知函數(shù).

（1）當時，試求函數(shù)圖像過點的切線方程；

（2）當時，若關于的方程有唯一實數(shù)解，試求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，且不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】試題分析：對于（1），先利用導數(shù)求出切線的斜率，再寫出點斜式方程；

對于（2），方程可化為：，構造，通過研究的單調性即可求出的范圍.

對于（3），首先根據(jù)有兩個極值點，利用導數(shù)求出的取值范圍以及極值點；將恒成立轉化為恒成立，然后構建函數(shù)求出的最小值即可.

試題解析：

（1）當時，有.

∵，∴，

∴過點的切線方程為：，

即.

（2）當時，有，其定義域為：，

從而方程可化為：，

令，則，

由或；.

∴在和上單調遞增，在上單調遞減，

且，

又當時，；當時，.

∵關于的方程有唯一實數(shù)解，

∴實數(shù)的取值范圍是：或.

（3）∵的定義域為：.

令.

又∵函數(shù)有兩個極值點，

∴有兩個不等實數(shù)根，

∴，且，

從而.

由不等式恒成立恒成立，

∵，

令，

∴，當時恒成立，

∴函數(shù)在上單調遞減，∴，

故實數(shù)的取值范圍是：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy上取兩個定點 再取兩個動點，，且．

（Ⅰ）求直線與交點M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡C交于P,Q，過P作軸且與軌跡C交于另一點N，F為軌跡C的右焦點，若,求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(Ⅰ)若,令函數(shù),求函數(shù)在上的極大值、極小值；

(Ⅱ)若函數(shù)在上恒為單調遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為2.10元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元．已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x,3x噸．

(1)求y關于x的函數(shù)；

(2)如甲、乙兩戶該月共交水費40.8元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知（）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若不等式在時恒成立，求最小正整數(shù)，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）

某公司經(jīng)銷某產(chǎn)品，第天的銷售價格為（為常數(shù)）（元∕件），第天的銷售量為（件），且公司在第天該產(chǎn)品的銷售收入為元．

（1）求該公司在第天該產(chǎn)品的銷售收入是多少？

（2）這天中該公司在哪一天該產(chǎn)品的銷售收入最大？最大收入為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（ ）

A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)，滿足，實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，

①驗證函數(shù)滿足題中的條件；

②若函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù).

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