Question

17．在（2-x）¹⁴（x∈R，x≠0）的展開式中，已知第2r項與第r+1項（（r≠1）的二項式系數(shù)相等．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若該展開式的第r項的值與倒數(shù)第r項的值相等，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用二項式系數(shù)的性質求得r的值．
（Ⅱ）利用通項公式求得T₅=${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴，倒數(shù)第5項，即T₁₁=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，根據這兩項相等，解得x的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，2r-1=r+1-1或2r-1+r=14，解得r=1（舍去） 或r=5，
故r的值為5．
（Ⅱ）由題意可得T_r=${C}_{14}^{r-1}$•2^15-r•（-x）^r-1，當r=5時，T₅=${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴，
倒數(shù)第5項，即T₁₁=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，
由題意  ${C}_{14}^{4}$•2¹⁰•（-x）⁴=${C}_{14}^{10}$•2⁴•（-x）¹⁰，解得x=±2．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．