【題目】(2017·合肥市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為橢圓E: (a>b>0)的左焦點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線與y軸交于P,過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,若λ|PM|2=|PA|·|PB|,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)可得關(guān)于, 的方程組,求出, 的值,即可得到橢圓的方程;(2)由(1)求得坐標(biāo),得到的值,當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直接由,求得值;當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用判別式大于求得的取值范圍,再由根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合,把用含有的表達(dá)式表示,則實(shí)數(shù)的取值范圍可求.
試題解析:(1)由題意,得a=2c,b=c,則橢圓E為.
由,得x2-2x+4-3c2=0.
∵直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M,
∴Δ=4-4(4-3c2)=0c2=1,
∴橢圓E的方程為.
(2)由(1)得M,
∵直線與y軸交于P(0,2),
∴|PM|2=,
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),
|PA|·|PB|=(2+)×(2-)=1,
∴λ|PM|2=|PA|·|PB|λ=,
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由(3+4k2)x2+16kx+4=0,
依題意得,x1x2=,且Δ=48(4k2-1)>0,
∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)·=1+=λ,
∴λ= (1+),
∵k2>,∴<λ<1.
綜上所述,λ的取值范圍是[,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+b圖象上的點(diǎn)P(2,1)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q在函數(shù)g(x)=lnx+a上.
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)的最大值;
(Ⅱ)對(duì)任意x1∈[1,e],x2∈,是否存在實(shí)數(shù)k,使得不等式成立,若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,一張紙的長、寬分別為2a,2a,A,B,C,D分別是其四條邊的中點(diǎn),現(xiàn)將其沿圖中虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P,從而得到一個(gè)多面體,關(guān)于該多面體的下列命題,正確的是________(寫出所有正確命題的序號(hào)).
①該多面體是三棱錐;②平面BAD⊥平面BCD;
③平面BAC⊥平面ACD;④該多面體外接球的表面積為5πa2.
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【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:f(x+4)=f(x)+f(2),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),y=f(x)單調(diào)遞減,給出以下四個(gè)命題:
①f(2)=0;②直線x=-4為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸;③函數(shù)y=f(x)在[8,10]上單調(diào)遞增;④若關(guān)于x的方程f(x)=m在[-6,-2]上的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-8.
其中所有正確命題的序號(hào)為________.
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【題目】設(shè)f(x)=ex(ln x-a)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
e=2.71 828…).
(1)若y=f(x)在x=1處的切線方程為y=2ex+b,求a,b的值.
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】
已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且3a2+ab-2b2=0.
(Ⅰ)若B=,求sinC的值;
(Ⅱ)若sin A+3sin C=3sin B,求sinC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)證明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
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【題目】家政服務(wù)公司根據(jù)用戶滿意程度將本公司家政服務(wù)員分為兩類,其中A類服務(wù)員12名,B類服務(wù)員x名.
(Ⅰ)若采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取20名家政服務(wù)員參加技術(shù)培訓(xùn),抽取到B類服務(wù)員的人數(shù)是16, 求x的值;
(Ⅱ)某客戶來公司聘請(qǐng)2名家政服務(wù)員,但是由于公司人員安排已經(jīng)接近飽和,只有3名A類家政服務(wù)員和2名B類家政服務(wù)員可供選擇,求該客戶最終聘請(qǐng)的家政服務(wù)員中既有A類又有B類的概率.
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