Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+（m-3）x+1的圖象與x軸公共點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)右側(cè)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）令t=2-m，求[

1

t

]的值；（其中[t]表示不超過t的最大整數(shù)，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）
（3）對（2）中的t，求函數(shù)g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

的最小值．

Answer 1

分析：（1）所給的一元二次方程中二次項(xiàng)的系數(shù)時(shí)一個字母，要根據(jù)字母的取值進(jìn)行討論，當(dāng)m=0，m＜0，m＞0三種不同的情況進(jìn)行討論，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)上一問做出的m的取值，寫出t的范圍，對t=1，t＞1兩種情況進(jìn)行討論，得到結(jié)果是一個分段函數(shù)．
（3）根據(jù)第二問得到的范圍，對所給的函數(shù)進(jìn)行整理，當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)是一個遞增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-3x+1，則-3x+1=0，
得x=

1

3

符合題意…（1分）
當(dāng)m＜0時(shí)，∵f（0）=1，方程f（x）=0有一正一負(fù)兩個根，符合題意…（2分）
當(dāng)m＞0，則

△≥0 - m-3 2m ＞0

…（2分）⇒

(m-3)2-4m≥0 m＜3

∴0＜m≤1…（2分）
綜上，得m≤1…（1分）
（2）∵m≤1∴t=2-m≥1…（1分）
若t=1，則[

1

t

]=1…（1分）
若t＞1，則[

1

t

]=0…（1分）
∴[

1

t

]=

1(t=1) 0(t＞1)

…（1分）
（3）若t=1，則[t]=1，g(t)=

4+1

4+1

=1…（1分）
若t＞1，則[

1

t

]=0，設(shè)[t]=n(n≥1，n∈N)…（1分）
g(t)=

4n2+1

4n

=n+

1

4n

在[1，+∞)上遞增…（2分）
∴g(t)∈[

5

4

，+∞)…（1分）
∴g（t）的最小值是1．…（1分）

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系和新定義的一個函數(shù)的值域的問題，本題解題的關(guān)鍵是理解所給的新定義的函數(shù)，做出新定義函數(shù)的定義域，本題是一個中檔題目．