Question

定義在R上的增函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).

(1)求f(0)；

(2)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(3)若f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)<0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

解析：

(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.

(2)證明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，則有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)對(duì)任意x∈R恒成立，

所以f(x)是奇函數(shù).

(3)解：方法一：因?yàn)?i>f(x)在R上是增函數(shù)，

又由(2)知f(x)是奇函數(shù).

f(k·3^x)<－f(3^x－9^x－2)＝f(－3^x＋9^x＋2)，

所以k·3^x<－3^x＋9^x＋2，

3^2x－(1＋k)·3^x＋2>0對(duì)任意x∈R恒成立.

令t＝3^x>0，問(wèn)題等價(jià)于t²－(1＋k)t＋2>0對(duì)任意t>0恒成立.

令f(t)＝t²－(1＋k)t＋2，其對(duì)稱軸為x＝，

當(dāng)<0即k<－1時(shí)，f(0)＝2>0，符合題意；

當(dāng)≥0即k≥－1時(shí)，對(duì)任意t>0，f(t)>0恒成立⇔

解得－1≤k<－1＋2.

綜上所述，當(dāng)k<－1＋2時(shí)，f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)<0對(duì)任意x∈R恒成立.

方法二：由k·3^x<－3^x＋9^x＋2，得k<3^x＋－1.

u＝3^x＋－1≥2－1,3^x＝時(shí)，取“＝”，即u的最小值為2－1，

要使對(duì)x∈R，不等式k<3^x＋－1恒成立，只要使k<2－1.